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記者10月26日從蘭州大學(xué)獲悉，該校數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院青年教師耿俊教授與西湖大學(xué)申仲偉教授合作，在非光滑區(qū)域上帶Dirichlet邊界條件的Stokes算子的預(yù)解估計(jì)方面取得重要突破。相關(guān)成果于近日發(fā)表在國際頂尖數(shù)學(xué)期刊《數(shù)學(xué)新進(jìn)展》上。

非光滑區(qū)域上帶Dirichlet邊界條件的Stokes算子在Lebesgue空間Lq中的預(yù)解估計(jì)是偏微分方程領(lǐng)域的核心問題之一。該類估計(jì)對(duì)研究區(qū)域上非線性Navier-Stokes方程具有關(guān)鍵作用，近四十年來受到眾多學(xué)者的廣泛深入研究。

“非光滑區(qū)域的挑戰(zhàn)在于，當(dāng)對(duì)邊界進(jìn)行局部放大時(shí)，難以獲得量化改進(jìn)，且許多梯度正則性估計(jì)在此類區(qū)域中不再成立。”蘭州大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院教授耿俊介紹。

該論文通過用調(diào)和分析的工具，將壓力與速度梯度在Lq平均意義上建立關(guān)聯(lián)，獲得了一些新的估計(jì)，從而建立了非光滑區(qū)域上帶Dirichlet邊界條件的Stokes算子在端點(diǎn)Lebesgue空間L∞中的預(yù)解估計(jì)。

在d維歐氏空間（R?）的有界區(qū)域Ω中，當(dāng)假設(shè)d≥3時(shí)Ω為C1類區(qū)域、d=2時(shí)Ω為Lipschitz類區(qū)域的條件下，該研究在有界無散向量場空間中建立了Stokes算子的預(yù)解估計(jì)。作為推論，可得Stokes算子在Ω上的有界無散向量場空間中生成一致有界的解析半群。其中，關(guān)于區(qū)域Ω的光滑性條件是最優(yōu)的。此外，該研究還討論了具有非光滑邊界的外部區(qū)域情形。證明中的關(guān)鍵步驟涉及新的估計(jì)式，該估計(jì)式將壓力與速度的Lq平均關(guān)聯(lián)起來，但僅在特定尺度以上成立。

據(jù)悉，本論文的核心技術(shù)貢獻(xiàn)在于提出了關(guān)于平均量的新型壓力估計(jì)，為相關(guān)領(lǐng)域的研究開辟了新路徑。

（受訪者供圖）